কন্টেন্ট
- পর্যায়ে
- শুরু করা
- পদ্ধতি 1 পরীক্ষা এবং ত্রুটি দ্বারা এগিয়ে যান
- পদ্ধতি 2 পচন দ্বারা এগিয়ে যান
- পদ্ধতি 3 "ট্রিপল গেম"
- পদ্ধতি 4 দুটি স্কোয়ারের পার্থক্য
- পদ্ধতি 5 চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করে
- পদ্ধতি 6 একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে
বহুবর্ষটি একটি বহনযোগ্য (এক্স) দ্বারা গঠিত যা একটি নির্দিষ্ট শক্তিতে বহুত্বের ডিগ্রি নামে পরিচিত, এবং নিম্ন ডিগ্রি এবং / বা আরও কয়েকটি ধ্রুবকের বিভিন্ন শর্ত। দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদী (যা "চতুর্ভুজ সমীকরণ" নামে পরিচিত) এর অর্থ দাঁড় করানোর অর্থ ছোট ডিগ্রিগুলির এক্সপ্রেশনগুলির উত্পাদকে প্রাথমিক অভিব্যক্তি হ্রাস করা যা পরে একে একে একে আরও গুণ করা যায়। এই জ্ঞানটি উচ্চ বিদ্যালয়ের কোর্সের অংশ এবং আরও অনেক কিছু, সুতরাং আপনার যদি এখনও গণিতের প্রয়োজনীয় স্তর না থাকে তবে এই নিবন্ধটি বুঝতে অসুবিধা হতে পারে।
পর্যায়ে
শুরু করা
-
আপনার অভিব্যক্তি লিখুন। দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণের স্ট্যান্ডার্ড ফর্মটি হ'ল:ax + bx + c = 0
স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের মতো বড় থেকে ক্ষুদ্রতম পর্যন্ত শক্তির ক্রম অনুসারে আপনার সমীকরণের শর্তাদি সাজিয়ে শুরু করুন Begin উদাহরণস্বরূপ নিন:6 + 6x + 13x = 0
আমরা এই পদক্ষেপটি পুনরায় সাজিয়ে নিই কেবল শর্তাদি সরানোর মাধ্যমে কাজের সুবিধার্থে:6x + 13x + 6 = 0। -
নীচে বর্ণিত একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে ফ্যাক্টার্ড ফর্মটি সন্ধান করুন। অনুষঙ্গটি দুটি সংক্ষিপ্ত এক্সপ্রেশন দেয় যা প্রাথমিক বহুভুজ দেয় যদি আমরা সেগুলি একে অপরের দ্বারা গুণ করি:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
এই উদাহরণে, (2x +3) এবং (3x + 2) হয় কারণের প্রাথমিক এক্সপ্রেশনটির 6x + 13x + 6। -
আপনার কাজ পরীক্ষা করুন! আপনি যে বিষয়গুলি চিহ্নিত করেছেন তার গুণক করুন। তারপরে অনুরূপ পদগুলি একত্রিত করুন এবং আপনার কাজটি সম্পন্ন হবে। দিয়ে শুরু:(2x + 3) (3x + 2)
আসুন এই অভিব্যক্তিটি পরীক্ষা করা শুরু করুন, দুটি অভিব্যক্তির শর্তাদি পেতে গুণমান:6x + 4x + 9x + 6
সেখান থেকে আমরা 4x এবং 9x যুক্ত করতে পারি কারণ তারা একই ডিগ্রির শর্তাদি। আমরা তখন জানি যে আমাদের কারণগুলি সঠিক কারণ আমরা প্রস্থানের অভিব্যক্তিতে ভাল পড়ে:6x + 13x + 6।
পদ্ধতি 1 পরীক্ষা এবং ত্রুটি দ্বারা এগিয়ে যান
আপনি যদি মোটামুটি সরল বহুবচন নিয়ে কাজ করে থাকেন তবে এক নজরে আপনাকে ফ্যাক্টর পণ্য হিসাবে এর পচনের সন্ধান করতে সক্ষম হওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, অনেক গণিতবিদ এই অভিব্যক্তিটি দেখতে সক্ষম হন 4x + 4x + 1 অভ্যাস দ্বারা এবং অভিজ্ঞতার সাথে (2x + 1) এবং (2x + 1) গুণকগুলি দেয় (স্পষ্টতই, জটিল বহুবর্ষের ক্ষেত্রে এটি এত সহজ নয়)। এই উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি কম সাধারণ অভিব্যক্তি গ্রহণ করা যাক:
.
-
সহগের কারণগুলির একটি তালিকা তৈরি করুন হয়েছে এবং গ. ফর্মের এক্সপ্রেশন ব্যবহার করে ax + bx + c = 0, সহগকে চিহ্নিত করুন হয়েছে এবং গ এবং সংশ্লিষ্ট কারণগুলি তালিকাভুক্ত করুন। এর জন্য: 3x + 2x - 8, এটি দেয়:a = 3 এবং কেবলমাত্র এক জোড়া কারণ রয়েছে: 1 * 3 সি = -8 এবং চারটি কারণের উপাদান: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, এবং -1 * 8 .. -
আপনার কাগজের টুকরোতে দুটি জোড়া বন্ধনী লিখুন যাতে সেগুলির ভিতরে লিখতে পারে। আপনি প্রদত্ত স্পেসে প্রতিটি অভিব্যক্তির জন্য ধ্রুবক প্রবেশ করবেন:(এক্স) (এক্স) -
এক্স এর আগে, সহগের জন্য সম্ভাব্য কারণগুলির একজোড়া লিখুন হয়েছে. সহগের জন্য হয়েছে আমাদের উদাহরণে, 3x, কেবল একটি সম্ভাবনা রয়েছে:(3x) (1x)। -
তারপরে সহগের জন্য এক জোড়া উপাদান নিয়ে বাকী দুটি শূন্যস্থান পূরণ করুন গ. উদাহরণস্বরূপ 8 এবং 1 নিন them সেগুলি লিখুন:(3x8) (এক্স1). -
এখনই সাইনটি স্থির করুন (অধিক অথবা কম) x এবং তার পরে আপনি যে নম্বরটি রেখেছিলেন তার মধ্যে স্থাপন করতে। আসল অভিব্যক্তির চিহ্ন অনুসারে স্থিরদের লক্ষণগুলি কী হওয়া উচিত তা সন্ধান করা সম্ভব। কল জ এবং ট আমাদের কারণগুলির স্থিরতা:যদি কুড়াল + বিএক্স + সি হয় তবে (x + ঘন্টা) (x + কে) যদি কুড়াল - বিএক্স - সি বা কুঠার + বিএক্স - সি হয় তবে (x - এইচ) (x + কে) যদি কুড়াল - বিএক্স + সি হয় তবে (এক্স - এইচ) (এক্স - কে)
আমাদের উদাহরণস্বরূপ, 3x + 2x - 8, চিহ্নগুলি অবশ্যই নিম্নলিখিত উপায়ে স্থাপন করতে হবে: (x - এইচ) (x + কে), যা আমাদের নিম্নলিখিত দুটি কারণ দেয়:(3x + 8) এবং (x - 1)। -
আপনার ফ্যাক্টরড ফর্মটি পুনর্নবীকরণের মাধ্যমে পরীক্ষা করুন। একটি প্রথম দ্রুত পরীক্ষা হল মধ্যবর্তী শব্দটির সঠিক মান আছে কিনা তা পরীক্ষা করা। যদি এক্সটি ভাল না হয়, তবে আপনি সহগের জন্য ভুলের যুক্ত কারণগুলি বেছে নিতে পারেন গ। আসুন আমাদের ফলাফলগুলি পরীক্ষা করুন:(3x + 8) (এক্স - 1)
একটি গুণ দ্বারা, আমরা পেতে:3x - 3x + 8x - 8
এই অভিব্যক্তিটি সহজ করার জন্য অনুরূপ পদগুলি (-3x) এবং (8x) যুক্ত করা, আমরা প্রাপ্ত:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
আমরা এখন জানি যে আমরা সম্ভবত ভুল কারণগুলি চিহ্নিত করেছি:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8। -
প্রয়োজনে আপনার পছন্দের কারণের বিনিময় করুন। আমাদের উদাহরণস্বরূপ, আসুন 1 এবং 8 এর পরিবর্তে 2 এবং 4 চেষ্টা করুন:(3x + 2) (এক্স - 4)
এখন আমাদের সহগ গ -8 হয় তবে গুণগুলি (3x * -4) এবং (2 * x) -12x এবং 2x দেয় যা অতিরিক্ত হিসাবে সর্বদা প্রাথমিক মান দেয় না খ, এটি + 2x।-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x। -
প্রয়োজনে অর্ডারটি বিপরীত করুন। আমরা আমাদের উদাহরণটিতে 2 এবং 4 এর স্থানটি উল্টেছি:(3x + 4) (এক্স - 2)
এখন সহগ গ সর্বদা ভাল তবে x এর শর্তাবলীর সহগগুলি এই সময়ের -6x এবং 4x এর পক্ষে মূল্যবান। একবার যুক্ত হয়ে গেলে এটি দেয়:-6x + 4x = -2x 2x 2 -2x আমরা 2x এর প্রাথমিক মানটির খুব কাছাকাছি যা আমরা সন্ধান করতে চাই, তবে সাইনটি ভাল নয়। -
প্রয়োজনে আবার লক্ষণগুলি পরীক্ষা করে দেখুন। আমরা এখন একই আদেশ রাখব, তবে আমরা লক্ষণগুলি বিনিময় করব:(3x - 4) (x + 2)
পূর্বে সহগ গ সর্বদা ভাল, এবং এক্স এর শর্তাদি এখন মূল্য (6x) এবং (-4x)। কারণ:6x - 4x = 2x 2x = 2x সুতরাং আমরা আমাদের কাছে 2x পাই। সুতরাং আমরা সম্ভবত সঠিক কারণগুলি খুঁজে পেয়েছি।
পদ্ধতি 2 পচন দ্বারা এগিয়ে যান
এই পদ্ধতিটি সহগগুলি প্রাপ্ত করার জন্য সমস্ত সম্ভাব্য কারণগুলি সনাক্ত করার অনুমতি দেবে হয়েছে এবং গ এবং কোনটি সঠিক কারণগুলি তা চিহ্নিত করতে সেগুলি ব্যবহার করুন। যদি সংখ্যাগুলি খুব বড় হয় বা অন্যান্য পরীক্ষার এবং ত্রুটির পদ্ধতিগুলি খুব দীর্ঘ বলে মনে হয় তবে আপনি এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন। নিম্নলিখিত উদাহরণটি ধরুন:
.
-
গুণফল গুণফল হয়েছে সহগ দ্বারা গ. আমাদের উদাহরণে, হয়েছে 6 এবং এর সমান গ এছাড়াও 6 এর সমান।6 * 6 = 36. -
গুণফলটি সন্ধান করুন খ ফ্যাক্টরিং এবং তারপরে প্রাপ্ত উপাদানগুলি পরীক্ষা করে। আমরা দুটি সংখ্যার সন্ধান করছি যা পণ্যের কারণ হয়েছে * গ যা আমরা চিহ্নিত করেছি এবং যার যোগফলটি সহগের "বি" (13) এর মূল্য।4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
আপনি সবেমাত্র আপনার সমীকরণে যে দুটি সংখ্যা পেয়েছেন তা পরিচয় করান; এগুলিকে এক্স এর সামনে রাখুন, যাতে তাদের যোগফল সহগের সমান হয় খ. চিঠিগুলি নেওয়া যাক ট এবং জ প্রাপ্ত দুটি সংখ্যা, 4 এবং 9 প্রতিনিধিত্ব করতে:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6। -
গ্রুপিংয়ের মাধ্যমে আপনার বহুত্ববাদী ফ্যাক্টর। প্রথম দুটি শর্তের বৃহত্তম সাধারণ ফ্যাক্টর এবং শেষ দুটি শর্তের বৃহত্তম সাধারণ ফ্যাক্টরটি সন্ধান করতে সমীকরণটি সংগঠিত করুন। তারপরে আপনার দুটি অভিন্ন ফ্যাক্টরযুক্ত ফর্মের যোগফল পাওয়া উচিত। দুটি সহগকে একসাথে যোগ করুন এবং এগুলি আপনার ফ্যাক্টরড ফর্মের সামনে বন্ধনীতে রাখুন; তারপরে আপনি আপনার দুটি কারণ পান:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)।
পদ্ধতি 3 "ট্রিপল গেম"
এই পদ্ধতিটি আগেরটির মতোই similar এটি সহগের পণ্যগুলির জন্য সম্ভাব্য কারণগুলি যাচাই করে হয়েছে এবং গ, তারপরে এর মানটি খুঁজে পেতে তাদের ব্যবহার করুন খ। উদাহরণস্বরূপ নিম্নলিখিত সমীকরণটি ধরুন:
-
গুণফল গুণফল হয়েছে সহগ দ্বারা গ. পচন পদ্ধতির মতো এটি আমাদের সহগের সম্ভাব্য প্রার্থীদের সনাক্ত করতে সহায়তা করবে খ। আমাদের উদাহরণে, হয়েছে 8 এবং এর সমান গ মূল্য 2।8 * 2 = 16. -
দুটি সংখ্যার সন্ধান করুন যার পণ্যটি সবেমাত্র পাওয়া নম্বর (16) এবং যার যোগফলটি সহগ "বি" দেয়। এই পদক্ষেপটি পচন পদ্ধতির অনুরূপ - যা আমরা স্থিরদের জন্য প্রার্থীদের পরীক্ষা এবং প্রত্যাখ্যান করি reject সহগের পণ্য হয়েছে এবং গ সমান 16, এবং সহগ গ 10 এর সমান:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
এই দুটি নম্বর নিন এবং তাদের "ট্রিপল প্লে" সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন। আগের পদক্ষেপটি থেকে দুটি নম্বর নিন - আসুন তাদের কল করুন জ এবং ট - এবং নিম্নলিখিত প্রকাশে তাদের পরিচয় করিয়ে দিন:((কুড়াল + এইচ) (কুড়াল + কে)) / এ
আমরা তখন পাই:((8x + 8) (8x + 2)) / 8 -
গুণকের দ্বারা অঙ্কের মধ্যে কোন প্যারেন্টিক্যাল এক্সপ্রেশনটি ভাগ করা যায় তা আবিষ্কার করুন হয়েছে. এই উদাহরণে, আমরা পরীক্ষা করি যদি (8x + 8) বা (8x + 2) 8 দ্বারা ভাগ করা যায় (8x + 8) 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে আমরা এই অভিব্যক্তিটি দ্বারা ভাগ করব হয়েছে এবং অন্যান্য এক্সপ্রেশনটি যেমন রয়েছে তেমন ছেড়ে দিন।(8x + 8) = 8 (x + 1)
আমরা এখানে যে এক্সপ্রেশন রেখেছি তা হ'ল এটি গুণকের দ্বারা বিভাজনের পরে থেকে যায় হয়েছে : (x + 1) -
উভয় বন্ধনীতে একটি বৃহত সাধারণ ফ্যাক্টর - যদি সেখানে থাকে তা সন্ধান করুন। আমাদের উদাহরণে, দ্বিতীয় এক্সপ্রেশনটিতে 2x এর বৃহত্তর সাধারণ গুণক রয়েছে, যেহেতু 8x + 2 = 2 (4x + 1)। পূর্ববর্তী ধাপে আপনি যে অভিব্যক্তিটি খুঁজে পেয়েছিলেন তার সাথে এই উত্তরটি সংযুক্ত করুন। আপনি আপনার বহুত্বের দুটি বিষয় খুঁজে পেয়েছেন।2 (x + 1) (4x + 1)।
পদ্ধতি 4 দুটি স্কোয়ারের পার্থক্য
বহুবর্ষের কিছু সহগকে "স্কোয়ার" হিসাবে চিহ্নিত করা যায়, এটি দুটি সংখ্যার গুণনের গুণফল হিসাবে বলা হয়। এই স্কোয়ারগুলি শনাক্ত করে আপনি কয়েকটি বহুভৌমিকে আরও দ্রুত ফ্যাক্টর করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ সমীকরণটি ধরুন:
-
যদি সম্ভব হয় তবে সবকিছুকে একটি বৃহত সাধারণ ফ্যাক্টর হিসাবে চিহ্নিত করে শুরু করুন। আমাদের উদাহরণস্বরূপ, আমরা 27 এবং 12 দেখতে পাচ্ছি, যার দুটিই 3 দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং আমরা নিম্নরূপে প্রাথমিক প্রকাশটি "ফেটে" দেখতে পারি:27x - 12 = 3 (9x - 4)। -
আপনার সমীকরণের সহগগুলি বর্গক্ষেত্র সংখ্যা হলে চিহ্নিত করুন। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য, আপনি আপনার সহগের জন্য বর্গমূলগুলি সন্ধান করতে সক্ষম হবেন (লক্ষ্য করুন যে আমরা নেতিবাচক লক্ষণগুলি বিবেচনা করি না - যেমন আমরা স্কোয়ারগুলি নিয়ে কাজ করছি, তারা দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল বা ঋণাত্মক)9x = 3x * 3x এবং 4 = 2 * 2। -
আপনি যে বর্গমূল খুঁজে পেয়েছেন তা ব্যবহার করে আপনার বিষয়গুলি লিখুন। এর মান নিন হয়েছে এবং গ পূর্বে পাওয়া - হয়েছে = 9 এবং গ = 4 - তাদের বর্গমূল সনাক্ত করার আগে - √ √হয়েছে = 3 এবং √গ = 2. এটি আমাদের ফ্যাক্টরড এক্সপ্রেশনগুলির সহগ হবে:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
পদ্ধতি 5 চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করে
যদি উপরের সমস্ত পদ্ধতি ব্যর্থ হয় এবং আপনি আপনার সমীকরণের জন্য সঠিক কারণগুলি খুঁজে পেতে অক্ষম হন তবে চতুর্ভুজ সূত্রটি ব্যবহার করুন। নিম্নলিখিত উদাহরণটি ধরুন:
-
"A", "b" এবং "c" সহগের মানগুলি নিন এবং সেগুলি নিম্নলিখিত চতুষ্কোণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন:x = -b ± √ (খ - 4ac)
---------------------
2A
আমরা তখন প্রকাশটি পাই:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2। -
এক্স সন্ধান করতে সমীকরণটি সমাধান করুন। আপনি উপরে দেখতে পাচ্ছেন, আপনার x এর দুটি মান পাওয়া উচিত:
x = -2 + √ (3) বা x = -2 - √ (3)। -
কারণগুলি খুঁজতে x এর মান ব্যবহার করুন। দুটি বহুপদী অভিব্যক্তির ধ্রুবক হিসাবে পূর্বে প্রাপ্ত x এর মান লিখুন। এগুলি আপনার বিষয়গুলি হবে। কল জ এবং ট এক্স এর মানগুলি লিখুন এবং দুটি ফ্যাক্টরড ফর্ম লিখুন:(এক্স - এইচ) (এক্স - কে)
এই ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফল:(এক্স - (-2 + √ (3)) (এক্স - (-2 - √ (3)) = (এক্স + 2 - √ (3)) (এক্স + 2 + √ (3))
পদ্ধতি 6 একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে
যদি আপনাকে গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়া হয় তবে সচেতন হন যে এটি আপনার কাজটি বিশেষত পরীক্ষার সময় সুবিধার্থে সহজতর করবে। এই নির্দেশাবলী কেবল টেক্সাস ইনস্ট্রুমেন্ট ব্র্যান্ডের গ্রাফিকাল ক্যালকুলেটরগুলির জন্য বৈধ। উদাহরণস্বরূপ নিম্নলিখিত সমীকরণটি ধরুন:
-
ক্যালকুলেটরে আপনার সমীকরণ প্রবেশ করান। আপনাকে "রিসলভার সমীকরণ" ব্যবহার করতে হবে, এটি পর্দা বলতে হবে। -
ক্যালকুলেটরে আপনার সমীকরণের একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা করুন। সমীকরণটি প্রবেশ করার পরে, টিপুন - আপনার তারপরে বক্ররেখার গ্রাফিকাল উপস্থাপনাটি দেখতে পাওয়া উচিত (আরও স্পষ্টভাবে, আপনি একটি "অর্ক" পাবেন কারণ আপনি বহুপদীতে কাজ করছেন)। -
এক্স-অক্ষ (এক্স) দিয়ে চাপের ছেদটির বিন্দু সন্ধান করুন। যেহেতু বহুপদী সমীকরণগুলি traditionতিহ্যগতভাবে ফর্মটিতে লিখিত হয়: ax + bx + c = 0, এগুলি x এর দুটি মান যার জন্য অভিব্যক্তি শূন্যের সমান:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2। - আপনার বক্ররেখাটি যেখানে অক্ষটি অতিক্রম করে তার মানগুলি যদি আপনি পড়তে না পারেন তবে টিপুন। "শূন্য" টিপুন বা নির্বাচন করুন। ছেদগুলির একটিতে বাম দিকে কার্সারটি সরান এবং টিপুন। তারপরে কার্সারটিকে এই ছেদটির ডানদিকে নিয়ে যান এবং আবার টিপুন। এরপরে, কার্সারটিকে যথাসম্ভব মোড়ের নিকটে সরিয়ে নিয়ে আবার টিপুন। ক্যালকুলেটর x এর মান সন্ধান করবে। অন্যান্য চৌরাস্তার জন্য একই জিনিসটি করুন।
-
শেষ অবধি, পূর্বের ধাপে প্রাপ্ত x মানগুলি একটি দ্বি-গুণক এক্সপ্রেশন হিসাবে প্রবর্তন করুন। আমরা যদি ফোন করি জ এবং ট আমাদের এক্স এর দুটি মান, আমরা তারপরে নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনটি ব্যবহার করব:(এক্স - এইচ) (এক্স - কে) = 0
এবং সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত দুটি কারণ পেয়ে যাব:(এক্স - (-1)) (এক্স - 2) = (এক্স + 1) (এক্স - 2)
- একটি পেন্সিল
- কাগজ
- একটি দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণ (বা চতুর্ভুজ সমীকরণ)
- একটি গ্রাফিং ক্যালকুলেটর (alচ্ছিক)